Probabilidades de que toque la lotería

Pocas personas podrán decir que se han resistido a la tentación de probar suerte con algún juego de azar, como lo atestigua todos los años el balance económico de Loterías y Apuestas del Estado, el organismo estatal que controla juegos como las quinielas o las loterías. En el año 2003, por ejemplo, se jugaron en España algo más de 8.000 millones de euros, casi un 9% más que el año anterior. Según el Instituto Nacional de Estadística (INE), cada español se gasta de media al año en juegos de azar unos 208 euros. En cuanto a los juegos que más pasiones levantan destaca sin duda la Lotería Nacional, con una participación del 57%; seguida por la Primitiva, con el 25%; la Bono Loto, con el 7%; la Quiniela con el 6% y, por último, El Gordo de la Primitiva, con el 4%. Respecto a los lugares donde más dinero se juega, encabezan la lista Madrid y Barcelona, seguidas a mayor distancia por Valencia y Alicante.

Ahora bien, ¿qué probabilidades hay de que nos toque el primer premio en estos juegos? Para responder a esta pregunta se utiliza la regla de Laplace, que marca por ejemplo que las probabilidades de acertar un número de un dado son 1 de 6, puesto que se cuenta en el lanzamiento con seis números posibles. En el caso de la Lotería Nacional, además de los números en juego, hay que tener en cuenta las series. En el sorteo semanal de los jueves se emiten 6 series de 100.000 números (00.000-99.999), de los cuales 35.450 se llevan algún tipo de premio -varios premios “mayores”, aproximaciones, premios “menores” y reintegros- mientras que los sábados y sorteos especiales como el de la Cruz Roja o el de julio llegan a las 10 series, con el mismo número de premios que los jueves. En cuanto al sorteo extraordinario de Navidad, se ponen en juego 170 series de 85.000 billetes, de los cuales 13.334 se llevan premio. Así, por ejemplo, si jugamos un billete de lotería en el premio de Navidad, la probabilidad de que nos toque el premio mayor es de 1 entre 14 millones y medio (170 series x 85.000 billetes), mientras que en un sorteo de los jueves, la probabilidad es de 1 entre 600.000.

Por su parte, la ONCE realiza sorteos diarios a excepción del sábado, con dos sorteos especiales que denominan el “Cuponazo”, celebrado los viernes, y el “Supercupón”, los domingos. Al igual que en el caso de la Lotería Nacional, hay que tener en cuenta las series en juego. Sus boletos llevan 5 cifras que representen 100.000 números y en los sorteos especiales se entrega además un premio especial si coincide también con la serie. Por ejemplo, acertar el “Cuponazo” significa una probabilidad de 1 entre 15 millones (150 series x 100.000 números). El número de combinaciones posibles aumenta, y con ello la dificultad de llevarnos el premio mayor si, como varios medios de comunicación criticaron el año pasado, se emiten más cupones de lo que realmente son vendidos, en virtud de un acuerdo con el Ministerio de Trabajo, que establecía un tope máximo de reparto en premios del 55% de la recaudación, lo que dejaba abierta la puerta a la sobre-emisión de cupones.

En cuanto a las quinielas, si hacemos una apuesta sencilla, tenemos que hacer frente a 3 elevado a la 14 de casos posibles, ya que en cada uno de los catorce partidos tenemos tres posibles resultados: 1, X, 2. Por lo tanto, hay que dividir nuestra apuesta (1) entre todas las posibilidades (3 a la 14), con lo que para llevarse el pleno hay una probabilidad de 1 entre casi 5 millones, si jugáramos sin tener en cuenta que algunos resultados son más probables que otros, debido a las diferencias entre los equipos de fútbol en juego.

En el caso de la Lotería Primitiva, tenemos 49 números, de los cuáles seis son los que resultan ganadores. Veamos qué probabilidades hay de ganar el premio máximo con una apuesta sencilla de seis números. En el primer número extraído nos resultan favorables seis casos, cualquiera de los nuestros, de entre los posibles cuarenta y nueve, por lo tanto hay que dividir 6 entre 49. En la segunda extracción, al haber salido ya un número, quedan cinco favorables y cuarenta y ocho posibles, es decir 5 entre 48, y así, en progresión hasta llegar a la sexta, donde llegaríamos a dividir el último número entre los 44 que nos quedarían posibles. Al unir todas estas cifras, resulta que la probabilidad de ganar el premio mayor con esta apuesta simple es de 1 entre 14 millones.

Y si se quiere aumentar aún más el riesgo, en el sorteo semanal que acaba de estrenar Loterías y Apuestas del Estado, “El Gordo de la Primitiva”, la probabilidad de llevarse el primer premio es aún peor, puesto que hay que acertar los 5 números elegidos (entre los 54 posibles) y además el número clave (1 entre 10): 1 entre unos 31 millones. Y siempre se pueden complicar las cosas: los “Euromillones” tienen una probabilidad de 1 entre 76 millones, y por ejemplo, en Estados Unidos, una de las loterías más populares, el “Mega Millions”, el gordo tiene una probabilidad de 1 entre 135 millones.

No obstante, como recuerda Álvaro Ibáñez, de la web sobre tecnología Microsiervos el que sean mejores o peores para el jugador depende del porcentaje total que “devuelven” en premios: “La ruleta devuelve entre el 95% y el 97% de los premios aproximadamente, dependiendo de si es Ruleta Europea o Americana, la Lotería Nacional y las tragaperras de los bares el 70%, dependiendo en este último caso de las normas de cada comunidad autónoma, la Lotería Primitiva el 55% de lo recaudado, etc.” Asimismo, añade Ibáñez, hay muchos más factores en el juego que hacen más o menos interesante jugar a uno u otro juego, como el reparto de los premios para categoría, cuánto se reparte en total, etc. Por ejemplo, Euromillones cambió las normas y un 7% que guardaban para botes lo pasaron a un 16%, lo que beneficia a los que aciertan el premio máximo de 5+2 pero perjudica a los demás. “En general, todos los juegos similares a la Primitiva están un poco sesgados en cuanto a que los repartos de premios no son realmente proporcionales a la dificultad de acertar en cada categoría. Los premios gordos se llevan una parte enorme del total (y todos los botes); de esta manera se pueden anunciar grandes premios jugosos, aunque sean mucho más difíciles de acertar. Por otra parte, los reintegros no son del todo favorables para los jugadores: no se gana mucho con ellos realmente. Las loterías los incluyen simplemente para que se vuelva a reinvertir en más apuestas. Como a la larga la organización tiene la ventaja, acaba ganando más todavía simplemente por el hecho de que la gente juega más”, sentencia Ibáñez.

Estas probabilidades no tienen en cuenta posibles imperfecciones físicas que tengan los sistemas de extracción de los números, que alteran lógicamente los resultados. Este hecho sirvió a Gonzalo García Pelayo y a su familia, a los que acabó por conocerse como los “Pelayos”, para hacerse millonarios en las ruletas de los casinos de medio mundo. Como explica Raúl Ibáñez, profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad del País Vasco y responsable de la web de divulgación matemática Divulgamat , “ya sea por una manipulación humana o por una anomalía del sistema, la probabilidad está alterada. ¿Cómo descubrir una variación? Vamos al lugar de la apuesta y observamos y apuntamos las respectivas tiradas; cuantos más lanzamientos podamos considerar mejor. Luego calculamos la posible probabilidad”. Las ganancias de los Pelayo se elevaron a más de un millón y medio de euros durante tres años a principios de los 90. Los casinos, cuando descubrieron el sistema, cambiaron las ruletas de sitio, de modelo o intercambiaron piezas de unas y otras.

Si se sigue con ganas de tentar a la suerte, ¿cómo hay que jugar para ganar? Según Germán Fernández, doctor en Física de Partículas, la clave reside en jugar regularmente: “Partiendo de que en todos los juegos de azar el dinero que se reparte en premios es menor que el que se recauda, una persona que apueste regularmente en un juego demasiado sencillo ganará muchas veces, pero terminará perdiendo dinero a largo plazo; por otro lado, una persona que apueste regularmente en un juego en el que la probabilidad de ganar sea muy pequeña, posiblemente pierda dinero, pero si gana, ganará mucho más que lo que haya apostado”. Un apostante que juegue regularmente a la primitiva durante 50 años, podrá llegar a perder unos 15.000 euros, aunque la probabilidad de ganar el premio mayor alguna vez en su vida se reduce a una de entre 700.

El mismo razonamiento le lleva a Fernández a afirmar que no merece la pena participar en las conocidas como “peñas de apuestas”: “Al aumentar las probabilidades de acierto, la cuantía del gasto se aproxima a la del posible premio. En una peña de 7.690 miembros que juegue 7.690 apuestas todos los días (con el mismo gasto individual) se obtendrán unos 10 premios a lo largo de los 50 años, pero habrá que repartir las ganancias entre los 7.690 miembros, 10/7690 premios por persona, cerca de 1.500 euros”. Por tanto, si nos atenemos a las matemáticas, conviene invertir el dinero en algo más tangible. Pero como opina Landart, la ilusión, el señuelo de un enorme premio, impulsa a jugar dejando a un lado la razón, “no me parece mal mientras uno se lo tome como un juego intrascendente en el que arriesga poco dinero: de ilusiones también se vive, y siempre hay alguien al que le toca la suerte”.

Y hablando de suerte, ¿hay quién tiene más suerte que otros? Así parecen pensarlo las miles de personas que compran un décimo en la administración de Sort (Lleida), la famosa “Bruixa d’Or”. La historia tiene todos los ingredientes para pensar que la suerte, después de todo, aunque pudiera parecer lo contrario, sí existe… por lo menos, para su propietario, que se ha hecho millonario. Cuando menos, se trata de una historia curiosa: un pueblo con un nombre ideal para los amantes de las coincidencias y las supersticiones, un premio gordo de la lotería del Niño de 1994 que empieza a llamar la atención, y un avezado empresario, Xavier Gabriel, que aprovecha Internet para vender millones de euros en décimos. Si unimos todos estos ingredientes, no es de extrañar que este año por el Gordo de Navidad hayan facturado 29 millones de euros y hayan repartido 390 millones de euros en premios, y que el año pasado facturaran 22 millones y repartieran 120. Aunque tienen más probabilidades de vender el ‘gordo’ simplemente por el volumen de su negocio (es la administración de lotería que más vende), si nos acogemos a las cifras la verdad es que la suerte les ha sonreído este año: vendiendo un 1% de los décimos que se jugaban en toda España, han repartido de nuevo el premio Gordo.

La Probabilidad y la Estadística se encargan del estudio del azar desde el punto de vista de las matemáticas: la primera propone modelos para los fenómenos aleatorios, es decir, los que se pueden predecir con certeza, y estudia sus consecuencias lógicas, mientras que la segunda ofrece métodos y técnicas que permiten entender los datos a partir de modelos. De esta manera, el Cálculo de las Probabilidades es una teoría matemática y la Estadística es una ciencia aplicada donde hay que dar un contenido concreto a la noción de probabilidad.

En este sentido, el cálculo científico de probabilidades puede ayudarnos a comprender lo que en ocasiones la intuición nos indica de manera errónea. Un ejemplo típico es la denominada “paradoja de los cumpleaños”. Supongamos que estamos en un grupo de 23 personas. Los cálculos nos dicen que la probabilidad de que dos personas celebren el mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a simple vista parece increíble. No es de extrañar por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice en campos tan diversos como la demografía, la medicina, las comunicaciones, la informática, la economía y las finanzas

Sin embargo, a diferencia de otras ramas clásicas de la matemática, su certificación como teoría matemática no se produce hasta los años treinta del siglo XX, gracias al físico y matemático Andrei Nikolaevich Kolmogorov. Hasta entonces, la teoría de probabilidad se movió entre aquellos que pretendían comprender los juegos de azar, lo que llevó por ejemplo a que la clase alta europea durante el siglo XVII se planteara numerosas cuestiones teóricas.

En cuanto al concepto en sí, la probabilidad y el azar siempre ha estado en la mente del ser humano. Por ejemplo, sumerios y asirios utilizaban un hueso extraído del talón de animales como ovejas, ciervos o caballos, denominado astrágalo o talus, que tallaban para que pudieran caer en cuatro posiciones distintas, por lo que son considerados como los precursores de los dados. En el caso de la civilización egipcia, algunas pinturas encontradas en las tumbas de los faraones muestran tanto astrágalos como tableros para el registro de los resultados. Por su parte, los juegos con dados se practicaron ininterrumpidamente desde los tiempos del Imperio Romano hasta el Renacimiento, aunque no se conoce apenas las reglas con las que jugaban. Uno de estos juegos, denominado “hazard”, palabra que en inglés y francés significa riesgo o peligro, fue introducido en Europa con la Tercera Cruzada. Las raíces etimológicas del término provienen de la palabra árabe “al-azar”, que significa “dado”. Posteriormente, en el “Purgatorio” de Dante el término aparece ya como “azar”.

La Estadística tiene su origen mil o dos mil años antes de Cristo, en Egipto, China y Mesopotamia, donde ya se hacían censos para la administración de los imperios. Como ejemplo curioso, los egipcios tuvieron un instrumento llamado “Nilómetro”, que servía para fijar los impuestos a partir del caudal del Nilo: cuánta más agua se medía, más fértiles eran las orillas del río, y por lo tanto, más impuestos podían pagar los lugareños.